Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别是AB、C₁D₁的中点．
（1）证明：点A₁、F、C、E在同一平面内；
（2）若点G、H分别是DD₁、B₁C₁的中点，证明：GH⊥平面A₁FCE．

Answer 1

证明：（1）作A₁B₁的中点M，并连接BM、FM
依题意得EB与A₁M平行且相等…（1分）
∴四边形A₁MBE是平行四边形∴A₁E∥MB…（2分）
又依题意得BC与MF平行且相等∴四边形MFCB是平行四边形…（3分）
∴MB∥FC…（4分）
∴A₁E∥FC…（5分）
∴点A₁、F、C、E在同一平面内…（6分）
（2）由GD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，且A₁F?平面A₁B₁C₁D₁∴GD₁⊥A₁F…（7分）
又由F、H分别是C₁D₁、B₁C₁的中点，∴Rt△A₁FD₁≌Rt△D₁HC₁
∴∠D₁A₁F=∠HD₁C₁
又∵∠D₁A₁F+∠D₁FA₁=90°∴∠HD₁C₁+∠D₁FA₁=90°∴D₁H⊥A₁F…（9分）
而D₁H∩D₁G=D₁，D₁H，D₁G?平面D₁HG
∴A₁F⊥平面D₁HG，而GH?平面D₁HG
∴A₁F⊥GH…（11分）
同理可证CF⊥GH…（13分）
而CF∩A₁F=F，CF，A₁F?平面A₁FCE．
∴GH⊥平面A₁FCE．…（14分）
分析：（1）作A₁B₁的中点M，并连接BM、FM，证明四边形A₁MBE是平行四边形，四边形MFCB是平行四边形，即可证明点A₁、F、C、E在同一平面内．
（2）通过证明A₁F⊥平面D₁HG，说明A₁F⊥GH，CF⊥GH，然后利用直线与平面垂直的判定定理证明GH⊥平面A₁FCE．
点评：本题考查四点共面，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力与计算能力．