Question

（1）已知a，b均为实数，用比较证明：

a2+b2

2

≥（

a+b

2

）²（当且仅当a=b时等号成立）；
（2）已知x＞0，y＞0，x+y=1，利用（1）的结论用综合法证明：

x+ 1 2

+

y+ 1 2

≤2．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式

分析：（1）作差法，比较即可，
（2）令a=

x+ 1 2

，b=

y+ 1 2

，得到

a2+b2

2

=1，再利用（1）的结论即可证明

解答： 证明：（1）

a2+b2

2

-(

a+b

2

)2=

a2+b2

2

-

a2+2ab+b2

4

=

a2-2ab+b2

4

=(

a-b

2

)2≥0，
当且仅当a=b时等号成立，
所以：

a2+b2

2

≥（

a+b

2

）²（当且仅当a=b时等号成立）；

（2）令a=

x+ 1 2

，b=

y+ 1 2

，
则有

a2+b2

2

=

x+y+1

2

=1，
(

a+b

2

)2=(

x+ 1 2 + y+ 1 2

2

)2，
∵

a2+b2

2

≥（

a+b

2

）²，
∴=(

x+ 1 2 + y+ 1 2

2

)2≤1，
∴

x+ 1 2

+

y+ 1 2

≤2，
当且仅当

x+ 1 2

=

y+ 1 2

，即x=y=

1

2

时等号成立

点评：本题考查基本不等式的证明及运用，注意等号成立的条件，属于基础题．