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已知双曲线的右准线为y轴,且经过(1,2)点,其离心率是方程2x2-5x+2=0的根.
(1)求双曲线的离心率;
(2)求双曲线右顶点的轨迹方程.
分析:(1)设双曲线的离心率为e,由双曲线的性质可得:e>1,再解方程即可得到双曲线的离心率.
(2)设双曲线右顶点的坐标为(x,y)(x>0),实半轴长,虚半轴长及半焦距分别为a,b,c,由(1)可得:c=2a,由双曲线的右准线为y轴可得a=2x,c=4x,进而得到双曲线的右焦点F为(3x,y),再根据双曲线的定义即可得到答案.
解答:解:(1)设双曲线的离心率为e,由双曲线的性质可得:e>1,
因为方程2x2-5x+2=0的解是x1=
1
2
,x2=2,
所以e=2,即所求离心率为2.
(2)设双曲线右顶点的坐标为(x,y)(x>0),实半轴长,虚半轴长及半焦距分别为a,b,c,由
c
a
=2
得c=2a,b=
3
a

因为双曲线的右准线为y轴,
所以x=a-
a2
c
=a-
a
2
=
a
2
,即a=2x,c=4x,
所以双曲线的右焦点F为(3x,y).
因为双曲线经过(1,2)点,
所以
(3x-1)2+(y-2)2
1
=e=2

所以整理可得:(3x-1)2+(y-2)2=4.
所以双曲线右顶点的轨迹方程为(3x-1)2+(y-2)2=4.
点评:解决此类问题的关键是熟练掌握双曲线的定义、方程与有关的性质,以及求轨迹的方法,如此题运用的直接法,还有间接法,相关点代入法,定义法,交轨法等方法.
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