【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数满足:
①对任意的,
,当
时,有
成立;
②对恒成立.求实数
的取值范围.
【答案】(1)在
上单调递减,
在
上单调递增;(2)
.
【解析】试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性和最值等性质等基础知识,同时考查分类讨论等综合解题能力.第一问,对求导,求导后还无法直接判断
的正负,所以再次求导,得到
恒大于0,则
在
上单调递增,而
,所以当
时,
,当
时,
,故
在
上单调递减,
在
上单调递增;第二问,<1>由第一问函数
的单调性可知,
必异号,不妨设
,先证明一个结论:当
时,对任意的
有
成立,当
时,对任意的
有
成立,构造函数,利用函数研究函数的单调性和最值证明结论,最后得出结论,当
时,当且仅当
时,有
成立;<2>由题意分析只需
即可,通过上一步的证明,得到
,而
在
和
中取得,作差比较
和
的大小,从而得到
,代入到上式即可.
试题解析:(1),
令,则
,
从而在
上单调递增,即
在
上单调递增,又
,
所以当时,
,当
时,
,
故在
上单调递减,
在
上单调递增.
(2)由(1)可知,当,
时,
必异号,不妨设
,
我们先证明一个结论:当时,对任意的
有
成立;
当时,对任意的
有
成立.
事实上, ,
构造函数,
,
,(当且仅当
时等号成立),又
,
当时,
,所以
在
上是单调递减,
,此时,对任意的
有
成立.当
时,
,所以
在
上是单调递增,
,此时,对任意的
有
成立;
当时,
,由于
在
上单调递减,所以
,
.同理
,
.
当时,当且仅当
时,有
成立. 8分
②时,由(1)可得
,
又,所以
,因此
得取值范围为
.
又,
构造函数,
,
,
所以在
单调递增,又
,所以,当
,即
,
所以.
因为,
,
若要题设中的不等式恒成立,只需成立即可.
构造函数,
,
,
所以在
上递增,又
,所以,由
,得
,
又,所以
,因此
的取值范围为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】我国古代数学名著《续古摘奇算法》(杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题:将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入的方格中,使得每一行,每一列及对角线上的三个数的和都相等,我们规定:只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的数字不全相同,就称为不同的幻方,那么所有不同的三阶幻方的个数是( )
8 | 3 | 4 |
1 | 5 | 9 |
6 | 7 | 2 |
A. 9 B. 8 C. 6 D. 4
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知各项都是正数的数列的前
项和为
,
,
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足:
,
,数列
的前
项和
,求证:
;
(3)若对任意
恒成立,求
的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着互联网的发展,移动支付(又称手机支付)越来越普通,某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度,对15-65岁的人群随机抽样调查,调查的问题是“你会使用移动支付吗?”其中,回答“会”的共有个人.把这
个人按照年龄分成5组:第1组
,第2组
,第3组
,第4组
,第5组
,然后绘制成如图所示的频率分布直方图.其中,第一组的频数为20.
(1)求 和
的值,并根据频率分布直方图估计这组数据的众数;
(2)从第1,3,4组中用分层抽样的方法抽取6人,求第1,3,4组抽取的人数;
(3)在(2)抽取的6人中再随机抽取2人,求所抽取的2人来自同一个组的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C: 的离心率为
,短轴的一个端点到右焦点的距离为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值,并求此时直线l的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某企业实行裁员增效,已知现有员工人,每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元,据评估,在生产条件不变的情况下,每裁员一人,则留岗员工每人每年可多创收0.01万元,但每年需付给下岗工人每位0.4万元的生活费,并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的
,设该企业裁员
人后,年纯收益为
万元.
(1)写出关于
的函数关系式,并指出
的取值范围;
(2)当时,该企业应裁员多少人,才能获得最大的经济效益(注:在保证能取得最大的经济效益的情况下,能少裁员,应尽量少裁员)?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某汽车美容公司为吸引顾客,推出优惠活动:对首次消费的顾客,按元/次收费, 并注册成为会员, 对会员逐次消费给予相应优惠,标准如下:
消费次第 | 第 | 第 | 第 | 第 |
|
收费比例 |
该公司从注册的会员中, 随机抽取了位进行统计, 得到统计数据如下:
消费次第 | 第 | 第 | 第 | 第 | 第 |
频数 |
假设汽车美容一次, 公司成本为元, 根据所给数据, 解答下列问题:
(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率;
(2)某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润;
(3)设该公司从至少消费两次, 求这的顾客消费次数用分层抽样方法抽出人, 再从这
人中抽出
人发放纪念品, 求抽出
人中恰有
人消费两次的概率.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com