为了净化空气,某科研单位根据实验得出,在一定范围内,每喷洒1个单位的净化剂,空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间(单位:天)变化的函数关系式近似为
若多次喷洒,则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时,它才能起到净化空气的作用.
(1)若一次喷洒4个单位的净化剂,则净化时间可达几天?
(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂,6天后再喷洒a()个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效净化,试求
的最小值(精确到0.1,参考数据:
取1.4).
(1)可达8天;(2)a的最小值为.
解析试题分析:(1)根据题中条件每喷洒1个单位的净化剂,空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间(单位:天)变化的函数关系已经给出,则易得一次喷洒4个单位的净化剂时的函数关系式:
,这样就得到一个分段函数,对分段函数的处理常用的原则:先分开,现合并,解两个不等式即可求解; (2)中若第一次喷洒2个单位的净化剂,6天后再喷洒a(
)个单位的药剂,根据题意从第6天开始浓度来源与两方面,这是题中的难点,前面留下的为:
,后面新增的为:
,所得化简即可得到:
,结合基本不等式知识求出最小值
,最后解一个不等式:
,即可求解.
试题解析:(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂,
所以浓度
则当时,由
,解得
,所以此时
. 3分
当时,由
解得
,所以此时
.
综合得,若一次投放4个单位的制剂,则有效净化时间可达8天. 7分
(2)设从第一次喷洒起,经x()天,
浓度. 10分
因为,而
,
所以,故当且仅当
时,y有最小值为
.
令,解得
,所以a的最小值为
. 14分
考点:1.实际应用问题;2.分段函数;3.基本不等式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设(
是自然对数的底数,
),且
.
(1)求实数的值,并求函数
的单调区间;
(2)设,对任意
,恒有
成立.求实数
的取值范围;
(3)若正实数满足
,
,试证明:
;并进一步判断:当正实数
满足
,且
是互不相等的实数时,不等式
是否仍然成立.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.
(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;
(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动,速度为,雨速沿E移动方向的分速度为
。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与
×S成正比,比例系数为
;(2)其它面的淋雨量之和,其值为
,记
为E移动过程中的总淋雨量,当移动距离d=100,面积S=
时。
(1)写出的表达式
(2)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度,使总淋雨量
最少。
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养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为,高
,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大
(高不变);二是高度增加
(底面直径不变)。
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积(地面无需用材料);
(3)哪个方案更经济些?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
据市场分析,广饶县驰中集团某蔬菜加工点,当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本(万元)可以看成月产量
(吨)的二次函数.当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元.
(1)写出月总成本(万元)关于月产量
(吨)的函数关系;
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润;
(3)当月产量为多少吨时, 每吨平均成本最低,最低成本是多少万元?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=lg(1-x)+lg(1+x)+x4-2x2.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)求函数f(x)的值域.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数.设
,
(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记
的最小值为A,
的最大值为B,则
( )
A.16 |
B.![]() |
C.![]() |
D.![]() |
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