Question

16．如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，H、G、I、J分别为AD、AF、BE、DE的中点，则将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，则异面直线GH与IJ所成的角的大小为（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 可根据条件画出图形，并可判断该三棱锥为棱长等于底面边长的正三棱锥，然后可分别用向量$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}$表示出向量$\overrightarrow{GH}$和$\overrightarrow{IJ}$，从而可求出$\overrightarrow{GH}•\overrightarrow{IJ}$，根据向量夹角的计算公式即可求出$cos＜\overrightarrow{GH}，\overrightarrow{IJ}＞$，从而得出异面直线所成的角．

解答 解：如图，根据题意知，折后的三棱锥为棱长和底面边长都相等的正三棱锥，设棱长为1，且：
$\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AF}$；
$\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$；
且$|\overrightarrow{GH}|=\frac{1}{2}，|\overrightarrow{IJ}|=\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{GH}•\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{4}{\overrightarrow{AD}}^{2}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$；
∴$cos＜\overrightarrow{GH}，\overrightarrow{IJ}＞=\frac{\overrightarrow{GH}•\overrightarrow{IJ}}{|\overrightarrow{GH}||\overrightarrow{IJ}|}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$；
∴直线GH与IJ所成的角的大小为$\frac{π}{3}$．
故选C．

点评 考查正三棱锥的定义，能根据条件画出折叠后的图形，以及向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及三角形中位线的性质，向量夹角的余弦公式．