Question

17．若直线2ax+by-2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²-2x-4y-1=0的面积，则$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为（　　）

• A． 5
• B． 7
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 9

Answer 1

分析 利用直线2ax+by-2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²-2x-4y-1=0的面积，可得圆的圆心（1，2）在直线2ax+by-2=0（a＞0，b＞0）上，再利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出的最小值．

解答 解：由题意，圆的圆心（1，2）在直线2ax+by-2=0（a＞0，b＞0）上
∴2a+2b-2=0（a＞0，b＞0）
∴a+b=1
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）=5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥5+2×2=9
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$，即a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$时，$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为9
故选：D．

点评 本题考查圆的对称性，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．