Question

曲线f（x）=ax⁵+lnx存在垂直y轴的切线则实数a的取值范围是

（-∞，0）

．

Answer 1

分析：由f（x）=ax⁵+lnx有垂直与y轴的切线，知f（x）函数在某一个点处的导数等于零．由f（x）的定义域为x＞0，f′（x）=5ax⁴+

1

x

，知原题等于价于5ax²+1=0有解时求a的取值范围．由此能求出a的取值范围．

解答：解：∵f（x）=ax⁵+lnx有垂直与y轴的切线，
∴f（x）函数在某一个点处的导数等于零．
由函数的表达式可知f（x）的定义域为x＞0
∵f′（x）=5ax⁴+

1

x

，根据上面的推断，
即方程5ax⁴+

1

x

=0有解．即等于价于5ax⁵+1=0有解时求a的取值范围．
结合x为正数，解得a＜0
因此，a的取值范围是（-∞，0）．
故答案为：（-∞，0）．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程的应用，运用到了求导和一元二次方程有解问题两个知识点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．