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对于函数y=f(x),如果存在区间[m,n],同时满足下列条件:
(1)f(x)在[m,n]上是单调的;
(2)当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n],则称[m,n]是该函数的“和谐区间”.
若函数f(x)=
a+1
a
-
1
x
(a>0)
存在“和谐区间”,则实数a的取值范围是
0<a<1
0<a<1
分析:由条件知函数f(x)在(0,+∞)和(-∞,0)上分别单调递增,根据和谐区间的定义解方程组
f(m)=m
f(n)=n
,即可.
解答:解:由题意可得函数f(x)=
a+1
a
-
1
x
(a>0)
在区间[m,n]是单调递增的,
∴[m,n]⊆(-∞,0)或[m,n]⊆(0,+∞),则f(m)=m,f(n)=n,
故m、n是方程f(x)=x的两个同号的不等实数根,
a+1
a
-
1
x
=x

即方程ax2-(a+1)x+a=0有两个同号的实数根,
∵mn=
a
a
=1>0

故只需△=(a+1)2-4a2>0,解得-
1
3
<a<1,
∵a>0,
∴0<a<1.
故答案为:0<a<1.
点评:本题主要考查函数单调性的应用以及一元二次根的取值和分别问题,综合性较强.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x+
π
2
)
为偶函数,对于函数y=f(x)有下列几种描述:
①y=f(x)是周期函数②x=π是它的一条对称轴;③(-π,0)是它图象的一个对称中心;
④当x=
π
2
时,它一定取最大值;其中描述正确的是
 

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给出下列五个命题:
①函数y=f(x),x∈R的图象与直线x=a可能有两个不同的交点;
②函数y=log2x2与函数y=2log2x是相等函数;
③对于指数函数y=2x与幂函数y=x2,总存在x0,当x>x0 时,有2x>x2成立;
④对于函数y=f(x),x∈[a,b],若有f(a)•f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有零点.
⑤已知x1是方程x+lgx=5的根,x2是方程x+10x=5的根,则x1+x2=5.
其中正确的序号是
③⑤
③⑤

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(2010•上海模拟)对于函数y=f(x)的图象上任意两点A(a,f(a)),B(b,f(b)),设点C分
AB
的比为λ(λ>0).若函数为f(x)=x2(x>0),则直线AB必在曲线AB的上方,且由图象特征可得不等式
a2b2
1+λ
(
a+λb
1+λ
)
2
.若函数为f(x)=log2010x,请分析该函数的图象特征,上述不等式可以得到不等式
log2010a+log2010b
1+λ
log2010
a+λb
1+λ
log2010a+log2010b
1+λ
log2010
a+λb
1+λ

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科目:高中数学 来源: 题型:

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A、8B、4C、2D、1

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