Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．
（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（Ⅱ）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？试证明你的结论；
（Ⅲ）若点E为PC的中点，求二面角D﹣AE﹣B的大小．

Answer 1

【答案】解：（I）由三视图知PC⊥面ABCD，
ABCD为正方形，且PC=2，AB=BC=1，
∴ ．
（II）不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
证明如下：
∵PC⊥面ABCD，BD面ABCD，∴PC⊥BD
而BD⊥AC，AC∩AE=A，∴BD⊥面ACE，
而AE面ACE，
∴BD⊥AE．
（III）连接AC，交BD于O．
由对称性，二面角D﹣AE﹣B是二面角O﹣AE﹣B的2倍，
设θ为二面角O﹣AE﹣B的平面角．
注意到B在面ACE上的射影为O，
，
，
∴ ，
∴θ=60°∴二面角D﹣AE﹣B是120°．

【解析】（I）由三视图知PC⊥面ABCD，ABCD为正方形，且PC=2，AB=BC=1，由此能求出四棱锥P﹣ABCD的体积．（II）不论点E在何位置，都有BD⊥AE．由已知得PC⊥BD，从而BD⊥面ACE，由此能证明BD⊥AE．（III）连接AC，交BD于O．由对称性，二面角D﹣AE﹣B是二面角O﹣AE﹣B的2倍，设θ为二面角O﹣AE﹣B的平面角．注意到B在面ACE上的射影为O，由 ，能求出二面角D﹣AE﹣B的大小．