Question

【题目】如图，在中，AB＞AC，H为的垂心，M为边BC的中点，点S在边BC上且满足∠BHM=∠CHS，点A在直线HS上的投影为P.证明：的外接圆与的外接圆相切.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

如图，联结AH并延长，与的外接圆交于点D

作，与的外接圆交于点E.

易知，点D、H关于直线BC对称.

故∠HCB=∠BCD=∠CBE.

则.

因此，AE为外接圆的直径.

又由CH=CD=EB，结合知四边形CHBE为平行四边形.

于是，EH过点M.

设B’、C’为点B、C在边AC、AB上的投影.

延长EH，与的外接圆交于点Q.

由∠AQH=∠AQE=90°=∠APH，得A、Q、B’、H、C’、P六点共圆，且该圆以AH为直径.

由

由

结合，有.

则.

从而，Q、S、D三点共线.

由

得P、Q、S、M四点共圆，设此圆为圆T.

过点O作外接圆的切线.

由，知TQ也为圆T的切线.

故的外接圆与的外接圆相切.