Question

18．已知函数f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{|x|}}$
（1）若f（x）=0，求x的值：
（2）若2^t+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立．求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）=0，然后，针对x进行讨论；
（2）由2^t+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，得2^t+mf（t）=${2}^{t}+m（{2}^{t}-\frac{1}{{2}^{|t|}}）$≥0对于t∈[1，2]恒成立，整理后分离参数m，利用配方法求出含有变量t的函数的最大值得答案．

解答 解：（1）由f（x）=0，得2^x-2^-|x|=0，
当x≥0时，2^x-2^-x=0，化简得，4^x=1，∴x=0，
当x＜0，2^x-2^x=0，此式恒成立．
综上，x的值（-∞，0]．
（2）2^t+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，
即2^t+mf（t）=${2}^{t}+m（{2}^{t}-\frac{1}{{2}^{|t|}}）$=${2}^{t}+m（{2}^{t}-\frac{1}{{2}^{t}}）$≥0对于t∈[1，2]恒成立，
∵2^2t-1＞0，
∴m≥-$\frac{{2}^{2t}}{{2}^{2t}-1}$=$-\frac{1}{1-\frac{1}{{2}^{2t}}}$，
∵t∈[1，2]，
∴$-\frac{1}{1-\frac{1}{{2}^{2t}}}∈[-\frac{4}{3}，-\frac{16}{15}]$，
∴m≥$-\frac{16}{15}$．

点评 本题主要考查了函数恒成立问题，恒成立问题多需要转化，转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用，同时转化过程更提出了等价的意识和要求，是中档题．