Question

12．已知定义在R上的增函数f（x）满足f（-x）+f（x）=0，若x₁，x₂，x₃∈R，且x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₃+x₁＞0，则f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的值（　　）

• A． 一定大于0
• B． 一定小于0
• C． 等于0
• D． 正负都有可能

Answer 1

分析 由题意判断出函数的奇偶性，由x₁+x₂＞0移向得x₁＞-x₂，再结合函数的单调性得f（x₁）+f（x₂）＞0，利用类比推理得f（x₁）+f（x₃）＞0．f（x₂）+f（x₃）＞0，三个式子相加后判断符号即可．

解答 解：∵f（-x）+f（x）=0，∴f（x）定义在R上的奇函数，
∵奇函数f（x）是定义在R上的增函数，且x₁+x₂＞0，
∴x₁＞-x₂，则f（x₁）＞f（-x₂），
即f（x₁）＞-f（x₂），则f（x₁）+f（x₂）＞0．
同理可得f（x₁）+f（x₃）＞0．f（x₂）+f（x₃）＞0．
∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞0．
故选A．

点评 本题考查了函数的单调性和奇偶性的综合应用，以及类比推理的应用，属于中档题．