Question

设函数f（x）=log₂（a^x-b^x），且f（1）=1，f（2）=log₂12．
（1）求a，b的值；
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）最大值．

Answer 1

解：∵函数f（x）=log₂（a^x-b^x），且f（1）=1，f（2）=log₂12
∴
∴
∴
（2）由（1）得
令g（x）=4^x-2^x=（2^x）²-2^x
令t=2^x，则y=t²-t
∵x∈[1，2]，
∴t∈[2，4]，
显然函数y=（t-）²-在[2，4]上是单调递增函数，
所以当t=4时，取得最大值12，
∴x=2时，f（x）最大值为log₂12=2+log₂3
分析：（1）由已知f（1）=1，f（2）=log₂12代入到f（x）中，求得a、b的值即可；
（2）利用换元法，由（1）得，令g（x）=4^x-2^x=（2^x）²-2^x，再令t=2^x，则y=t²-t，可知函数y=（t-）²-在[2，4]上是单调递增函数，从而当t=4时，取得最大值12，故x=2时，f（x）取得最大值．
点评：本题以对数函数为载体，考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，考查函数的单调性与最值，属于基础题．