Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长为1的正四棱柱，高AA₁=2，
求（1）异面直线BD与AB₁所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
（2）求点C到平面BDC₁的距离及直线B₁D与平面CDD₁C₁所成的角．

Answer 1

解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．
则A₁（0，0，0），B₁（1，0，0），C₁（1，1，0），D₁（0，1，0），A（0，0，2），B（1，0，2），C（1，1，2），D（0，1，2），
∴，=（1，0，-2）．
∴===．
∴异面直线BD与AB₁所成角=．
（2）由（1）可知：，．
设平面BDC₁的法向量为，
则，即，令z=1，则x=2，y=2．
∴．
∴点C到平面BDC₁的距离d===．
（3）由（1）可知：=（-1，1，2）．
∵A₁D₁⊥平面CDD₁C₁，∴可取=（0，1，0）作为平面CDD₁C₁的法向量．
设直线B₁D与平面CDD₁C₁所成的角为θ．
则sinθ====．
分析：通过建立空间直角坐标系，（1）利用异面直线的方向向量所成的夹角即可得出；（2）求出平面BDC₁的法向量，利用点C到平面BDC₁的距离公式d=即可得出；
（3）求出平面CDD₁C₁的法向量，利用sinθ==即可得出．
点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系、由异面直线的方向向量所成的夹角求异面直线所成的角、点C到平面BDC₁的距离公式d=、由sinθ==求线面角是解题的关键．