Question

已知x∈（0，1]，f(x)=

∫

x 0

(1-2x+2t)dt，则f（x）的值域是

[0，

1

4

]

．

Answer 1

分析：利用微积分基本定理可得f（x）的表达式，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：∵f(x)=

∫

x 0

(1-2x+2t)dt=[(1-2x)t+t2]

|

x 0

=（1-2x）x+x²=-x²+x=-(x-

1

2

)2+

1

4

．
∵x∈（0，1]，
∴当x=

1

2

时，f（x）取得最大值

1

4

；
当x∈(0，

1

2

]时，0＜f(x)≤

1

4

；
当x∈[

1

2

，1]时，0≤f(x)≤

1

4

．
∴函数f（x）的值域为[0，

1

4

]．
故答案为[0，

1

4

]．

点评：熟练掌握微积分基本定理、二次函数的单调性是解题的关键．