Question

已知△ABC的三个角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足a+b=4，a²+b²-ab=c²，求此三角形的最小周长．

Answer 1

分析：先设a=x，则b=4-x，由a+b=4知道，只需要求出c边长的最小值即可；再结合余弦定理表示出边长c，借助于二次函数即可求出c边长的最小值，进而求出此三角形的最小周长．

解答：解：有a²+b²-ab=c²得∠C=60°，设a=x，则b=4-x．此三角形的周长最小只要c边最小，
所以：c=

a2+b2-2abcosC

=

x2+(4-x)2-x(4-x)

=

3x2-12x+16

(0＜x＜4)
又∵3x²-12x+16=3（x-2）²+4
∴当且仅当x=2时，c有最小值c_min=2，
∴a+b+c=4+c≥6．
即c=2时周长最小，最小周长为6．

点评：本题主要考查余弦定理以及二次函数在求最值中的运用．在利用二次函数在求最值时，一定要注意是在函数定义域内求解，以免出错．