Question

如图，正方形ABCD的边长为1，点P，Q分别在边AB，AD上，且PQ=1，设AP+AQ=x，记△CPQ的面积函数为S=f（x）．
（1）当AP=AQ时，求S的值；
（2）是否存在实数x，使得S=

2

3

？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：三角形的面积公式

专题：立体几何

分析：（1）设∠AQP=θ，θ∈(0，

π

2

)．可得AQ=cosθ，AP=sinθ，BP=1-sinθ，DQ=1-cosθ．x=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

).x∈(1，

2

]．sinθcosθ=

x2-1

2

．因此△CPQ的面积函数为S=f（x）=12-

1

2

sinθcosθ-

1

2

(1-sinθ)×1-

1

2

(1-cosθ)×1=-

1

4

(x-1)2+

1

4

，当AP=AQ，即sinθ=cosθ=

2

2

时，x=

2

，即可得出．
（2）令S=

2

3

，则

1

2

x-

x2-1

4

=

2

3

，化为3x²-6x+5=0，由于△=36-60＜0，因此此方程无解，即不存在x满足条件．

解答： 解：（1）设∠AQP=θ，θ∈(0，

π

2

)．
则AQ=cosθ，AP=sinθ，BP=1-sinθ，DQ=1-cosθ．
x=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

).x∈(1，

2

]．
∴sinθcosθ=

x2-1

2

．
∴△CPQ的面积函数为S=f（x）=12-

1

2

sinθcosθ-

1

2

(1-sinθ)×1-

1

2

(1-cosθ)×1
=

1

2

(sinθ+cosθ)-

1

2

sinθcosθ
=

1

2

x-

x2-1

4

=-

1

4

(x-1)2+

1

4

，
当AP=AQ，即sinθ=cosθ=

2

2

时，x=

2

，
∴S=f(

2

)=

2 2 -1

4

．
（2）令S=

2

3

，则

1

2

x-

x2-1

4

=

2

3

，化为3x²-6x+5=0，
∵△=36-60＜0，
因此此方程无解，
故存在实数x，使得S=

2

3

．

点评：本题考查了三角形与正方形的面积计算公式、二次函数的单调性、一元二次方程实数解与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．