精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=
1
3
x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R),其图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的极值;
(3)设g(x)=
1+k•f′(x)
x
,(x≠0),求函数g(x)在区间[1,2]上的最小值.
考点:利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题:导数的综合应用
分析:(1)由导数的运算法则可得f′(x)=x2-2ax+a2-1.由于函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0.可得
f(1)=2
f(1)=-1
,解出即可;
(2)由(1)可得:f(x)=
1
3
x3-x2+
8
3
.由导数的运算法则可得f′(x)=x2-2x,分别解出f′(x)>0,f′(x)<0,即可得出单调区间;
(3)由(2)可得:g(x)=
1+k•f′(x)
x
=
1+k(x2-2x)
x
=kx+
1
x
-2k,(x≠0),x∈[1,2].进而得到g(x)=k-
1
x2
=
kx2-1
x2

对k分类讨论:当k≤0时,当k>0时,再讨论当
1
k
≥2
时,当
1
k
≤1
时,当1<
1
k
<2
时,再利用导数与函数单调性的关系即可得出极值与最值.
解答: 解:(1)f′(x)=x2-2ax+a2-1.
∵函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0.
f(1)=2
f(1)=-1
,即
1
3
-a+a2-1+b=2
1-2a+a2-1=-1
,解得
a=1
b=
8
3

∴a=1,b=
8
3

(2)由(1)可得:f(x)=
1
3
x3-x2+
8
3

f′(x)=x2-2x,
令f′(x)>0,解得x>2或x<0,∴函数f(x)在区间(-∞,0),(2,+∞)上单调递增;
令f′(x)<0,解得0<x<2,∴函数f(x)在区间(0,2)上单调递减.
∴函数f(x)在x=0时取得极大值,f(0)=
8
3
;在x=2时取得极小值,f(2)=
4
3

(3)g(x)=
1+k•f′(x)
x
=
1+k(x2-2x)
x
=kx+
1
x
-2k,(x≠0),x∈[1,2].
g(x)=k-
1
x2
=
kx2-1
x2

当k≤0时,g′(x)<0,函数f(x)在区间[1,2]单调递减,最小值为g(2)=2k+
1
2
-2k=
1
2

当k>0时,g′(x)=
k(x+
1
k
)(x-
1
k
)
x2

1
k
≥2
,即0<k≤
1
4
时,g′(x)≤0,此时函数g(x)在区间[1,2]单调递减,最小值为g(2)=2k+
1
2
-2k=
1
2

1
k
≤1
时,即k≥1时,g′(x)≥0,此时函数g(x)在区间[1,2]单调递增,最小值为g(1)=k+1-2k=1-k.
1<
1
k
<2
时,即
1
4
<k<1
时,当1≤x<
1
k
时,g′(x)<0,此时函数g(x)在区间[1,
1
k
)
单调递减;
1
k
<x≤2
时,g′(x)>0,此时函数g(x)在区间(
1
k
,2]
单调递增.
∴函数g(x)在x=
1
k
时取得极小值,即最小值,g(
1
k
)
=2
k
-2k
点评:本题综合考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、切线方程,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

学习“三角”时,小明同学在参考书上看到求sin18°精确值的一种方法,具体如下:设等腰△ABC的顶角∠A=36°.底角∠B的平分线交腰AC于D,且BC=1(如图),则AD=BD=1,于是,在△BCD中,可得CD=2sin18°.由△BAC∽△CBD得
AC
BC
=
BD
CD
,即
1+2sin18°
1
=
1
2sin18°
,整理得4sin218°+2sin18°-1=0,又sin18°(0,1),故解得sin18°=
5
-1
4
.现设α,β,α+β均属于区间(0,
π
2
),若cos(
2
-2β)•sin(2α+β)=cos(
π
2
+2α)•sin(α+2β),则下列命题正确的是(  )
A、关于x的方程α•4x+β•2x+α=0有实数解
B、关于x的方程α•(log4x)2+β•log4x-α=0无实数解
C、关于x的方程sinx=
2β-α
α
有实数解
D、关于x的方程cosx=
β
2a+β
无实数解

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

一盒中装有5个产品,其中有3个一等品,2个二等品,从中不放回地取出产品,每次1个,取两次,已知第二次取得一等品的条件下,第一次取得的是二等品的概率是(  )
A、
1
2
B、
1
3
C、
1
4
D、
2
3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设正项数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,都有4Sn-an2-4n+1=0且a2>2>a1
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=
an+1
2
,求证:
b1
b2
+
b1b3
b2b4
+…+
b1b3b2n-1
b2b4b2n
2n+1
-1.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且4sin2
B+C
2
-cos2A=
7
2

(Ⅰ)求角A的大小
(Ⅱ)求sinBsinC的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)=cosωx•sinωx+
3
cos2ωx-
3
2
(0<ω≤1),且满足f(x+π)=f(x)
(Ⅰ)求y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)求当x∈[-
π
12
12
]时,y=f(x)的取值范围;
(Ⅲ)若关于x的方程3[f(x)]2+m•f(x)-1=0在x∈[-
π
12
12
]时有三个不相等实根,求m的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(1)化简:
tan(π-α)•sin(
π
2
+α)•cos(2π-α)
cos(-π-α)•tan(α-2π)

(2)设
a
=(1,0),
b
=(1,1),若向量λ
a
+
b
与向量
c
=(6,2)共线,求实数λ.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆O:x2+y2=1和点M(1,4).
(1)过点M向圆O引切线,求切线的方程;
(2)求以点M为圆心,且被直线y=2x-8截得的弦长为8的圆M的方程;
(3)设P为(2)中圆M上任意一点,过点P向圆O引切线,切点为Q,试探究:平面内是否存在一定点R,使得
PQ
PR
为定值?若存在,请求出定点R的坐标,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.
(1)在空间中与点A距离为
1
3
的所有点构成曲面S,曲面S将正方体ABCD-A1B1C1D1分为两部分,若设这两部分的体积分别为V1,V2(其中V1>V2),求的
V1
V2
值;
(2)在正方体表面上与点A的距离为
2
3
3
的点形成一条空间曲线,求这条曲线的长度.

查看答案和解析>>

同步练习册答案