Question

7．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，则AC₁与BB₁所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，连接AC，由B₁B∥C₁C，可得∠AC₁C是异面直线AC₁与BB₁所成的角，再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出．

解答 解：如图所示，连接AC，
∵B₁B∥C₁C，
∴∠AC₁C是异面直线AC₁与BB₁所成的角．
在Rt△AC₁C中，AC₁=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}+C{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{1}^{2}}$=3，
AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴sin∠AC₁C=$\frac{AC}{A{C}_{1}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了异面直线所成的角、长方体的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．