Question

已知函数与函数g（x）=alnx在点（1，0）处有公共的切线，设F（x）=f（x）-mg（x）（m≠0）．
（1）求a的值
（2）求F（x）在区间[1，e]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为函数与函数g（x）=alnx在点（1，0）处有公共的切线，且f（1）=g（1）=0，说明点（1，0）在两条曲线上，把两函数求导后根据在（1，0）处的导数值相等可得a的值；
（2）把f（x）与g（x）代入函数F（x）的解析式，然后求其导函数，分m＜0和m＞0判断导函数的单调性，根据函数的单调性求得F（x）在区间[1，e]上的最小值．其中当m＞0时需要由导函数的零点对区间[1，e]进行分段．
解答：解：（1）因为f（1）==0，g（1）=aln1=0，所以（1，0）在函数f（x），g（x）的图象上
又，所以f'（1）=1，g'（1）=a
所以a=1
（2）因为F（x）=f（x）-mg（x），所以，，其定义域为{x|x＞0}
当m＜0时，，
所以F（x）在（0，+∞）上单调递增
所以F（x）在[1，e]上单调递增，其最小值为F（1）==0．
当m＞0时，令，得到（舍）
当时，即0＜m≤1时，F'（x）＞0对（1，e）恒成立，
所以F（x）在[1，e]上单调递增，其最小值为F（1）=0
当时，即m≥e²时，F'（x）＜0对（1，e）成立，
所以F（x）在[1，e]上单调递减，
其最小值为
当，即1＜m＜e²时，F'（x）＜0对成立，F'（x）＞0对成立
所以F（x）在单调递减，在上单调递增
其最小值为．
综上，当m≤1时，F（x）在[1，e]上的最小值为F（1）=0．
当1＜m＜e²时，F（x）在[1，e]上的最小值为．
当m≥e²时，F（x）在[1，e]上的最小值为．
点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，求函数在闭区间上的最值，需要求函数在对应开区间上的极值与区间端点的函数值，然后进行大小比较．此题属中档题．