Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC的中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）求证：平面PBC⊥平面PBD；
（3）设Q为棱PC上一点，

PQ

=λ

PC

，试确定λ的值使得二面角Q-BD-P为45°．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设PD的中点为F，连接EF，证明四边形FABE是平行四边形．利用直线与平面平行的判定定理证明BE∥平面PAD．
（2）过点B作BH⊥CD于H，证明BC⊥BD．PD⊥BC，通过直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面PBD，（文科）求解BC=BD=

2

；（理科）利用直线与平面垂直的性质定理证明平面PBC平面PBD．
（3）以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
求出相关点的坐标，平面PBD的法向量．平面QBD的法向量，通过二面角结合数量积求解λ即可．

解答： 解：（1）证明：设PD的中点为F，连接EF，∵点E，F分别是△PCD的中点，
∴EF∥CD，且EF=

1

2

CD，
∴EF∥AB，且EF=AB，
∴四边形FABE是平行四边形．
∴BE∥AF，又AF?平面PAD，EF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）在梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于H，
在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°．
又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°．
∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°．∴BC⊥BD．
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PD?平面PCD，
∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵BD∩PD=D，BD?平面PBD，PD?平面PBD，
∴BC⊥平面PBD，
又BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PBD．
（3）以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z
轴建立空间直角坐标系，
则P（0，0，1），C（0，2，0），A（1，0，0），B（1，1，0）．
令Q（x₀，y₀，z₀），∵

PQ

=λ

PC

，Q（0，2λ，1-λ），
∵BC⊥平面PBD，
∴

BC

=

n

=(-1，1，0)即为平面PBD的法向量．
设平面QBD的法向量为

m

=(x，y，z)，
则

m • DB =0 m • DQ =0

即

x=-y z= 2λ λ-1 y

．令y=1，得

m

=(-1，1，

2λ

λ-1

)．
若二面角Q-BD-P为45°，
则cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2

2 × 2+( 2λ λ-1 )2

=

2

2

，
解得λ=-1±

2

，
∵Q在PC上，0＜λ＜1．∴λ=

2

-1．

点评：本题考查直线与平面垂直与平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求解与应用，平面与平面垂直与空间距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．