Question

（Ⅰ）在平面直角坐标系中，已知某点，直线．求证：点P到直线l的距离
（Ⅱ）已知抛物线C: 的焦点为F,点为坐标原点，过P的直线l与抛物线C相交于A,B两点，若向量在向量上的投影为n,且，求直线l的方程。

Answer 1

（Ⅰ）证明：当A=0，B≠0时，直线l：，点P到直线l的距离；
当A≠0，B=0时，直线l： ，点P到直线l的距离
当AB≠0时，如图，则
∴
PQ是直角△PRS斜边上的高，由三角形面积公式可得

综上知，点P到直线l的距离．

（Ⅱ）解：当直线l⊥x轴时，与已知矛盾；
故可设直线方程：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴ ，∴ky²-4y-8k=0
∴y₁y₂=-8，y₁+y₂= ．
代入抛物线方程可得：x₁x₂= =4，x₁+x₂= 
∵，∴
∴ ，
解得tanθ=k=±1
∴l：x±y-2=0