Question

【题目】已知函数（）.

（1）当时取得极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点；

（2）当函数有两个极值点，恒有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），极大值点；（2）

【解析】

（1）由已知可得求出的值，并验证所求的值是否满足条件，同时可判断是极大值点还是极小值点；

（2）根据已知有两个不相等的正根，从而确定的范围以及的关系，将分离参数得，再利用的关系，等价转化为，构造函数（），应用导数方法求出的范围，即可求出的取值范围.

（1）（），，

则，从而（），

所以时，,为增函数；

时，,为减增函数，

所以为极大值点.

（2）函数的定义域为，有两个极值点，

则在上有两个不等的正实根，

，解得，

由可得，

从而问题转化为在，成立.

而，

所以可令（），则

在是单调递增，所以，，

所以实数的取值范围是.