Question

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C₁：2x²-y²=1。
（1）过C₁的左顶点引C₁的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交C₁于P、Q两点，若l与圆x²+y²=1相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆C₂：4x²+y²=1，若M、N分别是C₁、C₂上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值。

Answer 1

解：（1）双曲线C₁：左顶点A（-），渐近线方程为：y=±x
过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，所
以，解得
所以所求三角形的面积为S=。
（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b²=2，
由，得x²-2bx-b²-1=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则，
又y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）
所以=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=2（-1-b²）+2b²+b²=b²-2=0
故PO⊥OQ。
（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，
则O到直线MN的距离为
当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），
则直线OM的方程为y=，
由得，
所以
同理，
设O到直线OM的距离为d，
因为（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，
所以==3，即d=
综上，O到直线MN的距离是定值。