Question

11．设三个数$\sqrt{（x-\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{（x+\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$成等差数列，记（x，y）所对应点的曲线是C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点M（1，0），点N（3，2），过点M任作直线l与曲线C相交于A，B两点，设直线AN，BN的斜率分别为k₁，k₂，问k₁+k₂是否为定值？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分析可得$\sqrt{（x-\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x+\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，由椭圆的定义可得点P（x，y）对应的曲线方程C是椭圆，进而由题意可得a、c的值，计算可得b的值，代入椭圆的标准方程即可得答案；
（2）根据题意，分2种情况讨论：、①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，代入椭圆的方程可得A，B两点的坐标，计算可得k₁+k₂的值，②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），联立直线与椭圆的方程，可得（3k²+1）x²-6k²x+3k²-3=0．由根与系数的关系分析可得x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$．结合直线的方程可得k₁+k₂═$\frac{2-{y}_{1}}{3-{x}_{1}}$+$\frac{2-{y}_{2}}{3-{x}_{2}}$，将其变形化简可得k₁+k₂的值，综合2种情况即可得答案．

解答 解：（1）、依题意：三个数$\sqrt{（x-\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{（x+\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$成等差数列，
则有$\sqrt{（x-\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x+\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
所以点P（x，y）对应的曲线方程C是椭圆，
得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{c=\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
故b=1
椭圆C方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，
（2）、①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1．由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=±\frac{\sqrt{6}}{3}.\end{array}$
不妨设A（1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），B（1，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
因为k₁+k₂=2，
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）．
将y=k（x-1）代入$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，
整理得（3k²+1）x²-6k²x+3k²-3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$．
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
所以k₁+k₂=$\frac{2-{y}_{1}}{3-{x}_{1}}$+$\frac{2-{y}_{2}}{3-{x}_{2}}$
=$\frac{（2-{y}_{1}）（3-{x}_{2}）+（2-{y}_{2}）（3-{x}_{1}）}{（3-{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}$
=$\frac{[2-k（{x}_{1}-1）]（3-{x}_{2}）+[2-k（{x}_{2}-1）]（3-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$
=$\frac{2（12{k}^{2}+6）}{12{k}^{2}+6}$=2
即k₁+k₂=2，
综合可得：其k₁+k₂值为定植为2．

点评 本题考查椭圆与直线的位置关系，涉及椭圆的定义以及标准方程，（2）中不能忽略直线斜率不存在的情况．