Question

已知数列{a_n}，a₁=1且a_n-1-a_n=a_n-1a_n（n≥2，n∈N^*），则T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n-1的值为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：a₁=1且a_n-1-a_n=a_n-1a_n，可得

1

an

-

1

an-1

=1，数列{

1

an

}成等差数列，利用等差数列的通项公式及“裂项求和”即可得出．

解答： 解：∵a₁=1且a_n-1-a_n=a_n-1a_n，
∴

1

an

-

1

an-1

=1，
∴数列{

1

an

}成等差数列，
∴

1

an

=1+（n-1）×1=n，
∴an=

1

n

．
∴T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n-1=（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+…+（a_n-1-a_n）
=a₁-a_n
=1-

1

n

．
=

n-1

n

．
故答案为：

n-1

n

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及“裂项求和”，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．