Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2，n=1，2，3…．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-2n}为等比数列；
（Ⅱ）设b_n=a_n•cosnπ，求数列{b_n}的前n项和P_n；
（Ⅲ）设cn=

1

an-n

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：Tn＜

37

44

．

Answer 1

分析：（1）根据S_n=2a_n+n²-3n-2可得到S_n+1的表达式S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2，两式相减可得到a_n+1=2a_n-2n+2整理可得a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n），即数列{a_n-2n}为等比数列．
（2）先根据数列{a_n-2n}为等比数列求出a_n的表达式，再对n分奇偶数讨论可求出数列{b_n}的前n项和P_n．
（3）将a_n的表达式代入到cn=

1

an-n

中求出数列{c_n}的通项公式，进而可验证当n=1时满足Tn＜

37

44

，然后当n≥2时对Tn=

1

21+1

+

1

22+2

+

1

23+3

+…+

1

2n+n

进行放缩可得到Tn＜

1

3

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

5

6

-

1

2n

＜

5

6

＜

37

44

得证．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n+n²-3n-2，
∴S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2．
∴a_n+1=2a_n-2n+2，∴a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n）．
∴{a_n-2n}是以2为公比的等比数列；
（Ⅱ）a₁=S₁=2a₁-4，∴a₁=4，∴a₁-2×1=4-2=2．
∴a_n-2n=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ+2n．
当n为偶数时，P_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=-（2+2×1）-（2³+2×3）-…-[2^n-1+2（n-1）]+（2²+2×2）+（2⁴+2×4）+…+（2ⁿ+2×n）
=

4(1-2n)

1-22

-

2(1-2n)

1-22

+n=

2

3

•(2n-1)+n；
当n为奇数时，Pn=-

2n+1+2

3

-(n+1)．
综上，Pn=

- 2n+1 3 -n- 5 3 ，(n为奇数) 2 3 •(2n-1)+n，(n为偶数)

；
（Ⅲ）cn=

1

an-n

=

1

2n+n

．
当n=1时，T₁=

1

3

＜

37

44

当n≥2时，Tn=

1

21+1

+

1

22+2

+

1

23+3

+…+

1

2n+n

＜

1

3

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1

3

+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

1

3

+

1

2

-

1

2n

=

5

6

-

1

2n

＜

5

6

＜

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44

综上可知：任意n∈N，Tn＜

37

44

．

点评：本题主要考查构造等比数列求通项公式、求数列的前n项和．考查数列前n项和的不等式的证明．