Question

【题目】已知函数．

（1）当a＝3时，求函数y＝f（x）的图象在x＝0处的切线方程；

（2）当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y＝5x；（2）a≥﹣2．

【解析】

（1）求导，利用导数的几何意义求得斜率，然后用点斜式求得直线方程；

（2）求导后分与讨论函数的单调性.求出实数的取值范围.

（1）函数的定义域为，

当时，3x﹣1，

则，

，又，

∴切点为斜率的切线方程为：；

（2）令，若时，

则，，

∴x≥0时，f（x）≥0恒成立，等价于t≥1时，，

令g（t）＝alnt3t﹣4，g（1）＝0，g′（t）3，

设h（t）＝3t2+at﹣1，则h（t）恒过（0，﹣1）点，

①当h（1）≥0，即时，h（t）≥0在t≥1恒成立，

∴g（t）在t≥1时单调递增，∴g（t）≥g（1）＝0恒成立，

②设抛物线h（t）＝3t2+at﹣1与x轴的两个交点分别为t1，t2，且t1＜t2，

当h（1）＜0时，即a＜﹣2时，h（t）＜0，在t∈（1，t2）恒成立，

∴g′（t）＜0在t∈（1，t2）恒成立，g（x）在（1，t2）时单调递减，

∴g（t）＜g（1）＝0在t∈（1，t2）恒成立，

不满足g（t）＞0恒成立，

综上所述a≥﹣2．