Question

【题目】设f（x）=ex（ex﹣ax﹣1）且f（x）≥0恒成立．
（1）求实数a的值；
（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0 ， 且 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=ex（ex﹣ax﹣1）≥0，因为ex＞0，所以ex﹣ax﹣1≥0恒成立，

令φ（x）=ex﹣ax﹣1，x∈R，问题等价φ（x）≥0恒成立，

∴φ'（x）=ex﹣a，

当a≤0时，φ（x）在x∈R单调递增，又φ（0）=0当x∈（﹣∞，0）时，φ（x）＜0矛盾，

当a＞0时，φ（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，

∴φ（x）≥0恒成立，等价为φ（lna）=elna﹣alna﹣1≥0，即a﹣alna﹣1≥0，

又令g（a）=a﹣alna﹣1，（a＞0），g'（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna，

∴g（a）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，而g（1）=0，

所以不等式a﹣alna﹣1≥0的解为a=1，综上a=1

（2）证明：f'（x）=ex（2ex﹣x﹣2），令h（x）=2ex﹣x﹣2，h'（x）=2ex﹣1，

所以h（x）在 单调递减，在 单调递增 ，

∵ 由零点存在定理及h（x）的单调性知，方程h（x）=0在 有唯一根，

设为x0且 ，从而h（x）有两个零点x0和0，

所以f（x）在（﹣∞，x0）单调递增，在（x0，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，

从而f（x）存在唯一的极大值点x0即证，

由 得 ，

∴ 取等不成立，所以 得证，

又∵ 在（﹣∞，x0）单调递增

所以 得证，

从而且 成立

【解析】（1）由题意不难得出ex﹣ax﹣1≥0恒成立，令φ（x）=ex﹣ax﹣1，x∈R，问题等价φ（x）≥0恒成立，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到关于a的不等式，解出即可；（2）令h（x）=2ex﹣x﹣2，根据h ( 2 ) h ( l n ) < 0 由零点存在定理及h（x）的单调性知，方程h（x）=0在 ( 2 ， l n ) 有唯一根，设为x0且 2 e x 0 x 0 2 = 0 ，从而证明结论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．