Question

设M是含有n个正整数的集合，如果M中没有一个元素是M中另外两个不同元素之和，则称集合M是n级好集合，
（Ⅰ）判断集合{1，3，4，7，9}是否是5级好集合，并写出另外一个5级好集合，满足其最大元素不超过9；
（Ⅱ）给定正整数a，设集合M={a，a+1，a+2，…a+k}是好集合，其中k为正整数，试求k的最大值，并说明理由；
（Ⅲ）对于任意n级好集合M，求集合M中最大元素的最小值（用n表示）．

Answer 1

分析：（I）由1+3=4∈M，可得M不是5级好集合．举例：集合{1，3，5，7，9}是5级好集合．
（II）若a=1，则只能是M={1，2}；若a=2，则只能是{2，3，4}；若a=3，则只能是{3，4，5，6}；…；
以此类推，可得只能是M={a，a+1，…，2a}，即可得到k的最大值．
（III）对于任意n级好集合M，求集合M中最大元素的最小值为2n-2．用反证法证明：若最大元素为2n-3，则此时M中的运算个数至多为n-2+1=n-1＜n，故当最大元素为2n-3时，不能取得M．即可得出．

解答：解：（I）∵1+3=4∈M，∴M不是5级好集合．
集合{1，3，5，7，9}是5级好集合．
（II）若a=1，则只能是M={1，2}；
若a=2，则只能是{2，3，4}；
若a=3，则只能是{3，4，5，6}；…；
以此类推，只能是M={a，a+1，…，2a}，因此k的最大值为2a-a=a．
（III）对于任意n级好集合M，集合M最大元素的最小值为2n-2．
若最大元素为2n-3，将{1，2，…，2n-3}分为：
t=（2n-3），
t₁=（1，2n-4），
t₂=（2，2n-5），
…
t_n-2=（n-2，n-1）．
则显然t₁～t_n-2这n-2组中每一组至多选择一个数，
故此时M中的运算个数至多为n-2+1=n-1＜n，故当最大元素为2n-3时，不能取得M．
同理可证最大元素＜2n-3时不满足题设条件．
当最大元素为2n-2时，取M={n-1，n，n+1，n+2，…，2n-2}．则此集合对任意n满足题意．
综上可知：对于任意n级好集合M，求集合M中最大元素的最小值为2n-2．

点评：正确理解和集合的意义及通过举例进行类比推理、反证法等是解题的关键．