Question

已知数列数列{a_n}前n项和Sn=-

1

2

n2+kn（其中k∈N^*），且S_n的最大值为8．
（Ⅰ）确定常数k并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=9-2a_n，求数列{

1

bnbn+1

}前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据二次函数的性质及k∈N^*可求得S_n的最大值，令其为8，可求得k值，再根据an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求得a_n，注意验证n=1时情况；
（Ⅱ）由（Ⅰ）易求b_n，利用裂项相消法即可求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）Sn=-

1

2

n2+kn=-

1

2

(n-k)2+

1

2

k2，
又k∈N^*，所以当n=k时S_n取得最大值为

1

2

k2=8，解得k=4，
则Sn=-

1

2

n2+4n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-

1

2

n2+4n）-[-

1

2

（n-1）²+4（n-1）]=-n+

9

2

，
当n=1时，a₁=-

1

2

+4=

7

2

，适合上式，
综上，a_n=-n+

9

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=9-2a_n=9-2（-n+

9

2

）=2n，
所以

1

bnbn+1

=

1

2n(2n+2)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

4

(1-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

，
所以数列{

1

bnbn+1

}前n项和T_n为

n

4(n+1)

．

点评：本题考查等差数列的通项公式及数列求和，考查利用裂项相消法对数列求和，若{{a_n}为等差数列，公差为d，d≠0，则{

1

anan+1

}的前n项和可用列项相消法，其中

1

anan+1

=

1

d

（

1

an

-

1

an+1

）