Question

如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=AB=2，BC=3，E，F分别是AD，BC上的两点，且AE=BF=1，G为AB中点，将四边形ABCD沿EF折起到（如图2）所示的位置，使得EG丄GC，连接 AD、BC、AC得（图2）所示六面体．
（1）求证：EG丄平面CFG；
（2）求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得四边形ABEF为矩形，折叠后EF⊥平面BFC，由此能证明EG⊥平面CFG．
（Ⅱ）建系F-xyz，利用向量法能求出二面角A-CD-E的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵E、F分别是AD，BC上的两点，
AE=BF=1，
∴四边形ABEF为矩形，
∴折叠后EF⊥FC，EF⊥BF，
即EF⊥平面BFC，连接GF，
∵AE=1，BF=1，AB=2，∴∠EGF=90°，
由已知得EG⊥GC，
∴EG⊥平面CFG．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知FC⊥EG，
∵FC⊥EF，
∴FC⊥平面ABFE，
∴FC⊥BF，…（7分）
如图建系F-xyz，则A（1，0，2）C（0，2，0）D（0，1，2）
设

n1

=(x，y，z)为平面ACD的法向量，
∵

AD

=(-1，1，0)，

CD

=(0，-1，2)，
∴

-x+y=0 -y+2z=0

，得

y=x y=2z

．则令z=1，得

n   1

=（2，2，0），…（9分）
又

n2

=（1，0，0）为平面CDEF的法向量，
设二面角A-CD-E为θ，
则cos＜

n1

，

n2

＞=

2

4+4+1

=

2

3

，即cosθ=

2

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．