分析 (1)由重心性质,得$\overrightarrow{GA}$=$\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA})$,$\overrightarrow{GB}$=$\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$),$\overrightarrow{GC}$=$\frac{1}{3}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC})$,由此能证明$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$.
(2)以$\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}$为边作平等四边形AGBE,从而得到$\overrightarrow{GE}=-\overrightarrow{GC}$是公共点,进而得到CG是AB边上的中线,由此能证明G是△ABC的重心.
解答 证明:(1)∵G是△ABC的重心,
∴$\overrightarrow{GA}$=$\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA})$,
$\overrightarrow{GB}$=$\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$),
$\overrightarrow{GC}$=$\frac{1}{3}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC})$,
∴$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA})$+$\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$)+$\frac{1}{3}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC})$=$\overrightarrow{0}$.
∴$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$.
(2)∵$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$,∴$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}$=-$\overrightarrow{GC}$,
以$\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}$为边作平等四边形AGBE,则$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{GE}$,
∴$\overrightarrow{GE}=-\overrightarrow{GC}$是公共点,∴E,G,C三点共线,
又∵GE是平行四边形AGBE的对角线,EG和AB的交点是AB的中点,
即CG是AB边上的中线,
同理AG是BC边上的中线,BG是AC边上的中线,
∴G是△ABC的重心.
点评 本题考查重心性质及三角形重心的证明,是基础题,解题时要认真审题,注意重心性质的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -1 | B. | -$\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | -2 |
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A. | $\sqrt{2}$-1 | B. | $\sqrt{3}$-1 | C. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
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