Question

如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，求：
（1）AO与A′C′所成角；
（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；
（3）平面AOB与平面AOC所成角．

Answer 1

（1）∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成角就是∠OAC．∵OC⊥OB，AB⊥平面BC′，∴OC⊥OA，
在Rt△AOC中，OC═OC=

2

2

，AC=

2

，∴∠OAC=30°．（4分）
（2）如图，作OE⊥BC于E，连接AE，∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成角．
在Rt△OAE中，OE=

1

2

，AE=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，∴tan∠OAE=

OE

AE

=

5

5

．（9分）
（3）∵OC⊥OA，OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB．又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC，即平面AOB与平面AOC所成角为90°．（13分）