Question

16．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，在同一坐标系中，a_n=f（n）及S_n=g（n）的部分图象如图所示．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，及数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n≤$\frac{117}{160}$．

Answer 1

分析 （1）由图象可知可能有①a₇=0.7，S₇=-0.8，a₈=-0.4、②a₇=0.7，S₇=-0.8，S₈=-0.4、③a₇=-0.8，S₇=0.7，a₈=-0.4、④a₇=-0.8，S₇=0.7，S₈=-0.4四种情况，分别利用等差数列的通项公式及其前n项和公式计算即得结论；
（2）通过（1）可知a_n=1.3-0.3n，从而b_n=$\frac{1.3-0.3n}{{2}^{n}}$，利用错位相减法计算可知T_n=$\frac{7}{10}$-$\frac{7-3n}{10}$•$\frac{1}{{2}^{n}}$，通过$\frac{7-3n}{10}$•$\frac{1}{{2}^{n}}$在n=4时取最小值，计算即得结论．

解答 （1）解：由图象可知可能：①a₇=0.7，S₇=-0.8，a₈=-0.4，
由a₇=0.7，a₈=-0.4，可得d=-1.1，a₁=7.3，
∴S₇=$\frac{7×（7.3+0.7）}{2}$＞0，与S₇=-0.8，矛盾，舍去；
②a₇=0.7，S₇=-0.8，S₈=-0.4，
由S₇=-0.8，S₈=-0.4，可得a₈=0.4，
∴$\frac{8×（{a}_{1}+0.4）}{2}$=-0.4，解得a₁=-0.5，
∴a₈=-0.5+7d，解得d=$\frac{9}{70}$≠0.4-0.7=-0.3，矛盾，舍去；
③a₇=-0.8，S₇=0.7，a₈=-0.4，
由a₇=-0.8，S₇=0.7，可得$\frac{7×（{a}_{1}-0.8）}{2}$=0.7，解得a₁=1，
∴-0.8=1+6d，解得d=-0.3，
而-0.4-（-0.8）=0.4，矛盾，舍去；
④a₇=-0.8，S₇=0.7，S₈=-0.4，
由a₇=-0.8，S₇=0.7，可得$\frac{7×（{a}_{1}-0.8）}{2}$=0.7，解得a₁=1，
∴-0.8=1+6d，解得d=-0.3，
∴a₈=-0.8-0.3=-1.1，
∴S₈=0.7-1.1=-0.4，满足条件；
综上所述，a₁=1、d=-0.3，
∴a_n=1-0.3（n-1）=1.3-0.3n；
（2）证明：由（1）可知a_n=1.3-0.3n，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1.3-0.3n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1×$\frac{1}{2}$+0.7×$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（1.3-0.3n）×$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1×$\frac{1}{{2}^{2}}$+0.7×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（1.6-0.3n）×$\frac{1}{{2}^{n}}$+（1.3-0.3n）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
错位相减得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$-0.3（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（1.3-0.3n）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}-\frac{3}{10}$•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（1.3-0.3n）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{20}$+$\frac{3}{10}$•$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{13-3n}{20}$•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{7}{20}$-$\frac{7-3n}{20}$•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{7}{10}$-$\frac{7-3n}{10}$•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∵$\frac{7-3n}{10}$•$\frac{1}{{2}^{n}}$在n=4时取最小值，
∴T_n≤T₄=$\frac{7}{10}$-$\frac{7-3×4}{10}$•$\frac{1}{{2}^{4}}$
=$\frac{7}{10}$-$\frac{-5}{160}$
=$\frac{117}{160}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了错位相减法，考查了数形结合的思想方法、分类讨论的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．