【题目】在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,三角形面旋转一周形成一旋转体,求此旋转体的表面积和体积.
【答案】表面积为π,体积为
π.
【解析】
由已知三角形ABC为直角三角形,斜边AB为轴旋转一周,所得旋转体是AB边的高CO为底面半径的两个圆锥组成的组合体,计算出底面半径及两个圆锥高的和,代入圆锥体积公式,即可求出旋转体的体积;又由该几何体的表面积是两个圆锥的侧面积之和,分别计算出两个圆锥的母线长,代入圆锥侧面积公式,即可得到答案.
过C点作CD⊥AB,垂足为D.△ABC以AB所在直线为轴旋转一周,所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥,如图所示,
这两个圆锥高的和为AB=5,
底面半径DC==
,
故S表=π·DC·(BC+AC)=π.
V=π·DC2·AD+
π·DC2·BD=
π·DC2(AD+BD)=
π.
即所得旋转体的表面积为π,体积为
π.
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【题目】已知,且
,函数
,其中
为自然对数的底数:
(1)如果函数为偶函数,求实数
的值,并求此时函数的最小值;
(2)对满足,且
的任意实数
,证明函数
的图像经过唯一的定点;
(3)如果关于的方程
有且只有一个解,求实数
的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为直角梯形,
,
,平面
底面
,
为
的中点,
是棱
上的点,
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)若异面直线与
所成角的余弦值为
,求
的值.
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【题目】两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从
地到达
地,在
地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回
地.
(1)试把汽车离开地的距离
(千米)表示为时间
(小时)的函数;
(2)根据(1)中的函数表达式,求出汽车距离A地100千米时的值.
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【题目】下列说法正确的是( )
①设某大学的女生体重与身高
具有线性相关关系,根据一组样本数据
,用最小二乘法建立的线性回归方程为
,则若该大学某女生身高增加
,则其体重约增加
;
②关于的方程
的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
③过定圆上一定点
作圆的动弦
,
为原点,若
,则动点
的轨迹为椭圆;
④已知是椭圆
的左焦点,设动点
在椭圆上,若直线
的斜率大于
,则直线
(
为原点)的斜率的取值范围是
.
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
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【题目】中华民族是一个传统文化丰富多彩的民族,各民族有许多优良的传统习俗,如过大年吃饺子,元宵节吃汤圆,端午节吃粽子,中秋节吃月饼等等,让人们感受到浓浓的节目味道,某家庭过大年时包有大小和外观完全相同的肉馅饺子、蛋馅饺子和素馅饺子,一家4口人围坐在桌旁吃年夜饭,当晚该家庭吃饺子时每盘中混放8个饺子,其中肉馅饺子4个,蛋馅饺子和素馅饺子各2个,若在桌上上一盘饺子大家共同吃,记每个人第1次夹起的饺子中肉馅饺子的个数为,若每个人各上一盘饺子,记4个人中第1次夹起的是肉馅饺子的人数为
,假设每个人都吃饺子,且每人每次都是随机地从盘中夹起饺子.
(1)求随机变量的分布列;
(2)若的数学期望分别记为
、
,求
.
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