Question

（2010•武昌区模拟）定义域和值域均为[-a，a]的函数y=f（x）和y=g（x）的图象如图所示，其中a＞c＞b＞0，给出下列四个命题：
①方程f[g（x）]=0有且仅有三个解；
②方程g[f（x）]=0有且仅有三个解；
③方程f[f（x）]=0有且仅有九个解；
④方程g[g（x）]=0有且仅有一个解．
其中正确命题的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由图象可知对于函数y=f（x），当-a≤y＜-c时，方程有一解，当y=-c时，方程有两解，当-c＜y＜c时，方程有三个解，当y=c时，方程有两个解，当c＜y≤a时，方程有一解．对于函数y=g（x），由图象知，函数单调递减，当-a≤y≤a时，方程y=g（x）由唯一解．

解答：解：①设t=g（x），则由f[g（x）]=0，即f（t）=0，当t=0时，则t=g（x）有三个不同值，由于y=g（x）是减函数，所有三个解，所以①正确．
②设t=f（x），若g[f（x）]=0，即g（t）=0，则t=b，所以f（x）=b，因为c＞b＞0，所以对应f（x）=b的解有3个，所以②正确．
③设t=f（x），若f[f（x）]=0，即f（t）=0，t=-b或t=0或t=b，则f（x）=-b，或f（x）=0，或f（x）=b，因为a＞c＞b＞0，所以每个方程对应着三个解，所以共9个解，所以③正确．
④设t=g（x），若g[g（x）]=0，即g（t）=0，所以t=b，则g（x）=b，因为y=g（x）是减函数，所以方程g（x）=b只有1解，所以④正确．
故选D．

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，根据函数的图象，分别判断根的个数，考查学生的逻辑思维能力及识别图象的能力．