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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA=PC,
(1)证明:PB⊥AC;
(2)若平面PAC⊥平面平面ABCD,∠ABC=60°,PB=AB,求二面角D-PB-C的余弦值.
考点:二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质
专题:空间位置关系与距离,空间角
分析:(Ⅰ)连接PO,AC⊥BD,且O为AC和BD的中点,由PA=PC,得AC⊥PO,从而AC⊥平面PBD,由此能证明PB⊥AC.
(Ⅱ)由已知得PO⊥平面ABCD,过点O作OH⊥PB于点H,连结CH,得CH⊥PB,从而∠OHC是二面角D-PB-C的平面角,由此能求出二面角D-PB-C的余弦值.
解答: (Ⅰ)证明:连接PO,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,且O为AC和BD的中点,
又PA=PC,∴AC⊥PO,
∵BD∩PO=O,BD、PO?平面PBD,
∴AC⊥平面PBD,
∵PB?平面PBD,∴PB⊥AC.
(Ⅱ)解:∵平面PAC⊥平面ABCD,
平面PAC∩平面ABCD=AC,AC⊥PO,PO?平面PAC,
∴PO⊥平面ABCD,
∵BD?平面ABCD,∴PO⊥BD,
过点O作OH⊥PB于点H,连结CH,得CH⊥PB,
∴∠OHC是二面角D-PB-C的平面角,
设PA=AB=a,
∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,
∴AB=BC=AC,CO=
1
2
a
,BO=
3
2
a

在Rt△POB中,PO=
PB2-BO2
=
a2-
3
4
a2
=
1
2
a

OH=
PO•BO
PB
=
3
4
a

∴在Rt△COH中,CH=
CO2+OH2
=
(
a
2
)2+(
3
4
a)2
=
7
4
a

cos∠CHO=
OH
CH
=
21
7

∴二面角D-PB-C的余弦值
21
7
点评:本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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8
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