Question

已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性及极值；
（2）设．

Answer 1

解：（1）由
①当a≤0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值；
②当a＞0时，若0＜x＜a，f^′（x）＜0，故函数f（x）在（0，a）上单调递减，
若x＞a，f′（x）＞0，故f（x）在（a，+∞）上单调递增，
所以极小值f（a）=1+lna，无极大值．
（2）证明：不妨设x₁≥x₂，而0＜a，由（1）知f（x）在（0，）的单调递减，
故对任意，|f（x₁）-f（x₂）|≥a|x₁-x₂|等价于：

即f（x₁）+ax₁≤f（x₂）+ax₂
令g（x）=f（x）+ax，则，
令h（x）=ax²+x-a，∵0＜a，
∴h（0）=-a＜0，，
则，故g（x）在（0，）上单调递减，
又由x₁≥x₂，∴g（x₂）≥g（x₁），即f（x₂）+ax₂≥f（x₁）+ax₁
∴．
分析：（1）借助于导数，讨论参数，得到函数的单调区间和极值；
（2）借助于（1）的单调区间可知函数在（0，）的单调性，构建新函数，再借助其导数，判断新函数的单调性，即得证．
点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．