Question

已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)=

ax+b

1+x2

为奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求实数a，b的值；
（2）用定义证明：函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数；
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）利用函数f(x)=

ax+b

1+x2

为奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

，可得f(-

1

2

)=-f(

1

2

)=-

2

5

，从而得到关于a、b的方程组，解之即可；
（2）利用单调性的定义即可证明；
（3）利用f（x）为奇函数，将不等式f（t-1）+f（t）＜0转化为f（t）＜-f（t-1）=f（1-t），再利用函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数得到关于t的不等式 组，解之即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

ax+b

1+x2

为奇函数，且f(

1

2

)=

a 2 +b

1+( 1 2 )2

=

2

5

∴f(-

1

2

)=

- a 2 +b

1+(- 1 2 )2

=-f(

1

2

)=-

2

5

，解得：a=1，b=0．
∴f(x)=

x

1+x2

（2）证明：在区间（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，f(x1)-f(x2)=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

x1(1+x22)-x2(1+x12)

(1+x12)(1+x22)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，（1+x₁²）＞0，（1+x₂²）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（t-1）+f（t）＜0
∴f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）
∵函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数
∴

t＜1-t -1＜t＜1 -1＜1-t＜1

∴0＜t＜

1

2

故关于t的不等式的解集为(0，

1

2

)．

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的性质应用，着重考查学生理解函数奇偶性与用定义证明单调性及解方程，解不等式组的能力，属于中档题．