Question

函数y=lg（3-4x+x²）的定义域为M，函数f（x）=4^x-2^x+1（x∈M）．
（1）求M；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）当x∈M时，若关于x的方程4^x-2^x+1=b（b∈R）有实数根，求b的取值范围，并讨论实数根的个数．

Answer 1

解：（1）x²-4x+3＞0，（x-1）（x-3）＞0，x＜1或x＞3，
∴M={x|x＜1或x＞3}（2分）

（2）设t=2^x，∵x＜1或x＞3，
∴t∈（0，2）∪（8，+∞）（3分）
f（x）=g（t）=t²-2t=（t-1）²-1，（4分）
当t∈（0，1）时g（t）递减，当t∈（1，2）时g（t）递增，g（1）=-1，g（0）=g（2）=0，
所以t∈（0，2）时，g（t）∈[-1，0）（6分）
当t∈（8，+∞）时g（t）递增，g（8）=48，所以g（t）∈（48，+∞）（7分）
故f（x）的值域为[-1，0）∪（48，+∞）（8分）

（3）b=4^x-2^x+1，即b=f（x），方程有实根
∴函数y₁=b与函数y₂=f（x）（x∈M）的图象有交点．（10分）
由（2）知f（x）∈[-1，0）∪（48，+∞），
所以当b∈[-1，0）∪（48，+∞）时，方程有实数根．（12分）
下面讨论实根个数：
①当b=-1或当b∈（48，+∞）时，方程只有一个实数根（13分）
②当b∈（-1，0）时，方程有两个不相等的实数根（14分）
③当b∈（-∞，-1）∪[0，48]时，方程没有实数根（15分）
分析：（1）令x²-4x+3＞0，解出其解集即为M；
（2）用换元法t=2^x，由（1）知x＜1或x＞3得出t∈（0，2）∪（8，+∞），问题变为求y=t²-2t在（0，2）∪（8，+∞）上的值域问题，利用二次函数的性质求其值域即可．
（3）方程4^x-2^x+1=b（b∈R）有实根的问题可以转变为两个函数y₁=b与函数y₂=f（x）（x∈M）的图象有交点，研究图象交点个数的问题根据函数y₂=f（x）（x∈M）的图象进行讨论，得出b的范围．
点评：本题考点是函数与方程的综合运用，综合考查解一元二次不等式求函数的定义域，换元法求函数的值域，以及含参数的方程恒成立时求其范围，综合性很强，难度相对较大，技巧性强，做完此题后要好好总结解决本题的方法与技巧．