Question

试判断下面的证明过程是否是用数学归纳法的证明？若不是，请写出正确答案.

用数学归纳法证明：

1+4+7+…+（3n-2）=n（3n-1）.

Answer 1

证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1,

∴当n=1时命题成立.

（2）假设当n=k时命题成立，即

1+4+7+…+（3k-2）=k（3k-1）.

则当n=k+1时，需证

1+4+7+…+（3k-2）+［3（k+1）-2］=（k+1）（3k+2）.                      （*）

由于左端等式是一个以1为首项，公差为3，项数为k+1的等差数列的前n项和，其和为

（k+1）（1+3k+1）=（k+1）（3k+2）.

∴（*）式成立，即n=k+1时，命题成立.根据（1）（2）可知，对一切n∈N^*，命题成立.

解：以上的证明不是用数学归纳法证明的过程.

在证明当n=k+1时等式成立时，没有用到当n=k时命题成立的归纳假设，故不符合数学归纳法证题的要求.

第二步正确的证明方法是：

假设当n=k时命题成立，即

1+4+7+…+（3k-2）=k（3k-1），则当n=k+1时，

1+4+7+…+（3k-2）+［3（k+1）-2］=k（3k-1）+（3k+1）=（3k²+5k+2）=（k+1）（3k+2）=（k+1）［3（k+1）-1］

即当n=k+1时，命题成立.