分析 (1)根据面面平行的性质定理证明平面EFH∥平面PAB即可证明EH∥平面PBA;
(2)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法即可求平面FAH与平面EAH所成二面角的余弦值.
解答 解:(1)因为△PAE≌△DAE⇒PE=DE,又EH⊥PD⇒H为PD中点,
又FH∥CD∥AB,FH?面PAB,AB?面PAB⇒FH∥平面PAB,…(2分)
又EF∥PB,EF?面PAB,PB?面PAB⇒EF∥平面PAB,…(4分)
EF∩HF=F,
∴平面EFH∥平面PAB,EH?平面EFH⇒EH∥平面PAB…(6分)
(2)如图建立空间坐标系$E(\sqrt{3},0,0)$,P(0,0,2),$C(\sqrt{3},1,0)$D(0,2,0),$F(\frac{{\sqrt{3}}}{2},\frac{1}{2},1)$,H(0,1,1)
$\left\{\begin{array}{l}PD⊥AE\\ PD⊥AH\end{array}\right.⇒$$\overrightarrow{PD}=(0,2,-2)$是平面EAH的法向量…(8分)
设平面FAH的法向量为$\overrightarrow n=(x,y,z)$,$\overrightarrow{AF}=(\frac{{\sqrt{3}}}{2},\frac{1}{2},1),\overrightarrow{AH}=(0,1,1)$,
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AF}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{AH}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x+y+2z=0\\ y+z=0\end{array}\right.$,设$z=-\sqrt{3}$,∴$\overrightarrow n=(1,\sqrt{3},-\sqrt{3})$…(10分)$cos\left?{\overrightarrow{PD},\overrightarrow n}\right>=\frac{{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{PD}||\overrightarrow n|}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{{\sqrt{8}×\sqrt{1+3+3}}}=\frac{{\sqrt{42}}}{7}$,
∴平面FAH与平面EAH所成二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{42}}}{7}$…(12分)
点评 本题主要考查空间线面平行的判断以及二面角的求解,建立坐标系,求出平面的法向量,利用向量法是解决本题的关键.综合考查学生的运算和推理能力.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 5 | B. | 7 | C. | 2$\sqrt{13}$ | D. | $\sqrt{19}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{8}{3}+2π$ | B. | $\frac{8}{3}+π$ | C. | 4+2π | D. | 4+π |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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