Question

【题目】函数

（Ⅰ）讨论的单调性;

（Ⅱ）若有三个零点,求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）由 ，当导数大于0得函数增区间，当函数小于0得函数减区间，讨论，和四种情况即可；

（Ⅱ）由函数单调性可知和不成立，若，则要使有三个零点，必须有成立，若，则要使有三个零点，必须有成立，依次讨论求解即可.

详解：（Ⅰ）

①若，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增.

②若，则，（仅），单调递增.

③若，则，当或时，，单调递增；当时，，单调递减.

④若，则，当或时，，单调递增；当时，，单调递减.

（Ⅱ）法一：①由（Ⅰ）知，当时，至多有两个零点.

②由（Ⅰ）知，当时，至多有一个零点.

③若，则要使有三个零点，必须有成立，

由，得，这与矛盾，所以不可能有三个零点.

④若，则要使有三个零点，必须有成立，

由，得，由及，得，

.

并且，当时，

，.

综上，使有三个零点的的取值范围为.

法二：由，得，

令，则，

当或时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以，当时，取得极小值，极小值为，

当时，取得极大值，极大值为；

并且

，.

综上可知，当时，直线与曲线恰有三个不同的交点.所以，使有三个零点的的取值范围为.