Question

如图，在一个由矩形ABCD与正三角形APD组合而成的平面图形中，AD=2，DC=

2，

现将正三角形APD沿AD折成四棱锥P-ABCD，使P在平面ABCD内的射影恰好在边BC上．
（1）求证：平面PAB⊥平面PBC；
（2）求直线AC与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先证明平面PBC⊥平面ABCD，可得AB⊥平面PBC，从而可证平面PAB⊥平面PBC；
（2）证明PC⊥平面PAB，可得∠APC是直线AC与平面PAB所成角，从而可求直线AC与平面PAB所成角的正弦值．

解答：（1）证明：∵折起后，P在平面ABCD内的射影恰好在边BC上
∴平面PBC⊥平面ABCD
∵平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊥BC
∴AB⊥平面PBC
∵AB?平面PAB
∴平面PAB⊥平面PBC；
（2）折起后，由（1），△PAB中，∠ABP=90°，AB=

2

，AP=2，∴PB=

2

，
同理PC=

2

∴PC²+PB²=2+2=4=BC²，∴PC⊥PB
∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB
∴PC⊥平面PAB
∴∠APC是直线AC与平面PAB所成角
在Rt△APC中，sin∠APC=

PC

AC

=

2

6

=

3

3

，
即直线AC与平面PAB所成角的正弦值为

3

3

．

点评：本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确找出线面角，属于中档题．