Question

1．已知正四棱台的上、下底面面积分别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长．

Answer 1

分析 取上底A₁B₁C₁D₁的中心O₁和下底ABCD的中心O，连结OO₁，过O₁作O₁F⊥A₁B₁，交A₁B₁于F，过O作OE⊥AB，交AB于E，过F作FN⊥OE，交OE于N，由此能求出正四棱台的斜高、高、侧棱长．

解答 解：取上底A₁B₁C₁D₁的中心O₁和下底ABCD的中心O，连结OO₁，
过O₁作O₁F⊥A₁B₁，交A₁B₁于F，过O作OE⊥AB，交AB于E，
过F作FN⊥OE，交OE于N，
由题意，正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，
$\frac{2+4}{2}×EF$=12，∴正四棱台的斜高EF=4，
则正四棱台的高OO₁=FN=$\sqrt{16-（2-1）^{2}}$=$\sqrt{15}$．
侧棱长=$\sqrt{16+1}$=$\sqrt{17}$

点评 本题考查正四棱台的高和斜高的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力和下四棱台的结构特征的合理运用．