Question

已知a，b为实数，a＞2，函数，若．
（1）求实数a，b；
（2）求函数f（x）在[1，e²]上的取值范围；
（3）若实数c、d满足c≥d，cd=1，求f（c）+f（d）的最小值．

Answer 1

解：（1）由．
得：，
因为a＞2，所以，，解得：a=e，b=1．
（2）由（1）知，，
令，则，
当x∈[1，e²]时g^′（x）＞0恒成立，
所以，g（x）在[1，e²]上为增函数，
所以g（x）_min=g（1）=-e，．
所以，，
则函数f（x）在[1，e²]上的取值范围是[1，e+1]．
（3）由c≥d，cd=1，得e≥1，
所以lnc≥0，ce≥0，
若1≤c＜e，
+2
===2e+2．
若c=e，
+2
=e²+3．
若c＞e，
+2
=
=，
函数为（e，+∞）上的增函数，
所以，=e²+3．
因为e²+3≥2e+2，
所以，当c=d=1时，f（c）+f（d）的最小值为2e+2．
分析：（1）把代入函数解析式得到关于a，b的方程组，求解方程组可得a，b的值；
（2）把（1）中求得的a，b的值代入函数解析式，由函数单调性求绝对值内部的代数式的范围，从而可求函数f（x）在[1，e²]上的取值范围；
（3）根据c≥d，cd=1，得到c≥1，，把f（c）+f（d）的表达式用含有c的代数式表示，然后根据c的不同取值范围，利用基本不等式求f（c）+f（d）的最小值，最后得出要求的结论．
点评：本题考查了利用代入法求函数解析式，考查了利用函数的导函数求闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用基本不等式求函数的最值，此题属中档题．