Question

12．在△ABC中，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．
（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；
（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据商的关系、两角和的正弦公式化简已知的式子后，利用正弦定理和等比中项的性质证明结论；
（Ⅱ）由条件和余弦定理求出cosB的值，由平方关系求出sinB的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积S．

解答 证明：（Ⅰ）由已知得：sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，
∴sinB（$\frac{sinA}{cosA}$+$\frac{sinC}{cosC}$）=$\frac{sinA}{cosA}•\frac{sinC}{cosC}$，
∴sinB（sinAcosC+cosAsinC）=sinAsinC，
∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，
又sinB=sin（A+C），则sin²B=sinAsinC，
由正弦定理可得：b²=ac，∴a，b，c成等比数列．
解：（Ⅱ）∵a=1，c=2，∴b²=ac=2，
由余弦定理得，$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{3}{4}$，
由0＜C＜π得，$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×1×2×\frac{{\sqrt{7}}}{4}=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理的灵活应用，同角三角函数的基本关系，等比中项的性质等，注意三角形内角的范围，属于中档题．