分析 (Ⅰ)根据商的关系、两角和的正弦公式化简已知的式子后,利用正弦定理和等比中项的性质证明结论;
(Ⅱ)由条件和余弦定理求出cosB的值,由平方关系求出sinB的值,代入三角形的面积公式求出△ABC的面积S.
解答 证明:(Ⅰ)由已知得:sinB(tanA+tanC)=tanAtanC,
∴sinB($\frac{sinA}{cosA}$+$\frac{sinC}{cosC}$)=$\frac{sinA}{cosA}•\frac{sinC}{cosC}$,
∴sinB(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsinC,
∴sinBsin(A+C)=sinAsinC,
又sinB=sin(A+C),则sin2B=sinAsinC,
由正弦定理可得:b2=ac,∴a,b,c成等比数列.
解:(Ⅱ)∵a=1,c=2,∴b2=ac=2,
由余弦定理得,$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{3}{4}$,
由0<C<π得,$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$,
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×1×2×\frac{{\sqrt{7}}}{4}=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$.
点评 本题考查正弦、余弦定理的灵活应用,同角三角函数的基本关系,等比中项的性质等,注意三角形内角的范围,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分又不必要条件 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (0,3) | B. | (0,3] | C. | (0,+∞) | D. | [0,+∞) |
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