Question

（2013•乐山二模）已知f(x)=-

4+ 1 x2

，点Pn(an，-

1

an+1

)在曲线y=f（x）上（n∈N^*）且a₁=1，a_n＞0．
（Ⅰ）求证：数列{

1

a 2 n

}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

a

2 n

•

a

2 n+1

}的前n项和为S_n，若对于任意的n∈N^*，存在正整数t，使得Sn＜t2-t-

1

2

恒成立，求最小正整数t的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据f(x)=-

4+ 1 x2

，点Pn(an，-

1

an+1

)在曲线y=f（x）上，可得-

1

an+1

=-

4+ 1 an2

，即

1

an+12

-

1

an2

=4，故可得{

1

a 2 n

}是以1为首项，4为公差的等差数列，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 对通项裂项，再进行求和，从而对于任意的n∈N^*使得Sn＜t2-t-

1

2

恒成立，所以只要

1

4

≤t2-t-

1

2

，由此可得结论．

解答：（Ⅰ）证明：∵f(x)=-

4+ 1 x2

，点Pn(an，-

1

an+1

)在曲线y=f（x）上
∴-

1

an+1

=-

4+ 1 an2

∴

1

an+12

-

1

an2

=4
所以{

1

a 2 n

}是以1为首项，4为公差的等差数列． 
∴

1

an2

=4n-3
∵a_n＞0，∴a_n=

1 4n-3

（Ⅱ）解：bn=

a

2 n

•

a

2 n+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

4

（1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

）=

1

4

(1-

1

4n+1

)＜

1

4

对于任意的n∈N^*使得Sn＜t2-t-

1

2

恒成立，所以只要

1

4

≤t2-t-

1

2

∴t≥

3

2

或t≤-

1

2

，所以存在最小的正整数t=2符合题意

点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项公式，考查裂项法求数列的和，考查恒成立问题，选择正确的方法是关键．